Laky László a Fejér megyei Pátkán kezdte a pályafutását, ahonnan a Videoton utánpótlásába került. A most 21 esztendős hálóőr a 2014/15-ös szezontól Felcsúton folytatta és a Puskás Akadémia színeiben nevelkedett tovább, ahol a második csapatban idővel bemutatkozhatott az NB III-ban.
A 191 centiméter magas kapuvédőt a 2019/2020-as szezonban leigazolta az NB I újonca, a Kaposvári Rákóczi, amely színeiben a Paks ellen mutatkozott be az élvonalban. Bár a csapata kiesett az első osztályból, ő maradt, ugyanakkor az NB II-ben is csak három alkalommal kapott lehetőséget. A játékos és a klub 2020 telén szerződést bontott egymással.
A Békéscsaba 1912 Előrénél úgy készülnek, hogy a második csapat a szezon végén feljut az NB III-ba, ezért szükségesnek érezték négy közel azonos képességű kapus alkalmazását az egészséges versenyhelyzet fenntartásához és a jövőbeni sikeres szerepléshez. Az együttes ezért szerződtette Laky Lászlót, aki már az első kerettel edz és amint a szakmai stáb úgy ítéli, lehetőséget kap majd a bemutatkozásra.
